Question

8．某市于今年1月1日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：

申请意向 年龄	摇号		竞价（人数）	合计
	电动小汽车（人数）	非电动小汽车（人数）
30岁以下 （含30岁）	50	100	50	200
30至50岁 （含50岁）	50	150	300	500
50岁以上	100	150	50	300
合计	200	400	400	1000

（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，每个人被抽到的概率为$\frac{1}{50}$，由此能求出各种意向人数．
（2）根据题意得出X～B（4，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，
∵30至50岁的有500人，
∴每个人被抽到的概率为p₁=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，
根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×$\frac{1}{50}$=1，
非电动小汽车，摇号的有300×$\frac{1}{50}$=6．
（2）根据题意得出：样本总人数1000人，电动小汽车摇号的有200人，
非电动小汽车摇号的有400人，竞价的有400人，总共有1000人，
用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p=$\frac{200}{100}=\frac{1}{5}$，
摇号申请电动小汽车意向的人数记为X，X=0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{5}$），P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{4}{5}）^{4}$=$\frac{256}{625}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{256}{625}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{96}{625}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}（\frac{4}{5}）$=$\frac{16}{625}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{5}）^{4}=\frac{1}{625}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

E（X）=$0×\frac{256}{625}$+$1×\frac{256}{625}$+$2×\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．