Question

18．已知抛物线C：x²=4y，过点P（t，0）（其中t＞0）作互相垂直的两直线l₁，l₂，直线l₁与抛物线C相切于点Q（Q在第一象限内），直线l₂与抛物线C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：直线l₂恒过定点；
（Ⅱ）记直线AQ、BQ的斜率分别为k₁，k₂，当$k_1^2+k_2^2$取得最小值时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （I）设直线l₁斜率为k，得出l₁的方程，联立方程组，根据方程只有一解得出k与t的关系，从而得出l₂的斜率，得出l₂的点斜式方程化简即可；
（II）联立l₂与抛物线的方程，得出根与系数的关系，代入斜率公式化简$k_1^2+k_2^2$，利用基本不等式求出最小值成立的条件，从而得出t．

解答 解：（Ⅰ）设直线l₁的斜率为k，则直线l₁的方程为y=k（x-t），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-t）\end{array}\right.$，消元得：x²-4kx+4kt=0，
∵直线l₁与抛物线C相切，
∴△=16k²-16kt=0，解得t=k，∴Q（2t，t²），
∵l₁⊥l₂，∴直线l₂的斜率为-$\frac{1}{t}$，则直线l₂的方程为：$y=-\frac{1}{t}（x-t）$，即$y=-\frac{1}{t}x+1$，
∴直线l₂恒过定点（0，1）；
（Ⅱ）设$A（{x_1}，\frac{x_1^2}{4}）$，$B（{x_2}，\frac{x_2^2}{4}）$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=-\frac{1}{t}x+1\end{array}\right.$，消元得：${x^2}+\frac{4}{t}x-4=0$，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{t}$，x₁x₂=-4，
∴${k_1}=\frac{{{t^2}-\frac{x_1^2}{4}}}{{2t-{x_1}}}=\frac{1}{4}（2t+{x_1}）$，同理得出：${k_2}=\frac{1}{4}（2t+{x_2}）$，
∴$k_1^2+k_2^2=\frac{1}{16}[{（2t+{x_1}）^2}+{（2t+{x_2}）^2}]$=$\frac{1}{16}$（8t²+x₁²+x₂²+4tx₁+4tx₂）
=$\frac{1}{16}[{（{x_1}+{x_2}）^2}+4t（{x_1}+{x_2}）-2{x_1}{x_2}+8{t^2}]$
=$\frac{1}{16}[\frac{16}{t^2}-16+8+8{t^2}]$
=$\frac{1}{2}[\frac{2}{t^2}+{t^2}-1]≥\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．
当且仅当$\frac{2}{{t}^{2}}={t}^{2}$即$t=\root{4}{2}$时，取得等号．
$k_1^2+k_2^2$取得最小值时，P的坐标为$P（\root{4}{2}，0）$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．