Question

13．设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）当a=0时，曲线y=f（x）与直线y=3x+m相切，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入f（x），求出f（x）的导数，得到f′（x）=3，解得x的值，求出切点坐标，代入求出m的值即可；
（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x²，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
令f′（x）=3，解得：x=1或x=$\frac{1}{2}$，
代入f（x）得切点坐标为（1，1），或（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2），
将切点坐标代入直线y=3x+m，解得：m=-2或m=-$\frac{5}{4}$-ln2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈[1，3]，
设g（x）=2x²-2ax+1，
假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=3-2a≤0}\\{g（3）=19-6a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{19}{6}$，
故要使函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，
则a的范围是（-∞，$\frac{19}{6}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．