Question

7．已知点A、F分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点，若AF与圆O：x²+y²=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 如图所示，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|²=|TF||AT|，解得m．又|OT|=2，可得b²=2+m²．c²=9m²-b²=12．可得a²=b²+c²，即可得出．

解答 解：如图所示，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．
由△AOT∽△OFT，可得：|OT|²=|TF||AT|，
∴4=2m²，解得m=$\sqrt{2}$．
又|OT|=2，∴b²=2+2²=6．c²=9m²-b²=12．
∴a²=b²+c²=18．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．