Question

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=-2px（p＞0）的焦点F与双曲线x²-8y²=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 3$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．

解答 解：双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-{y}^{2}=1$，∴双曲线的左焦点为（-3，0），即F（-3，0）．
∴抛物线的方程为y²=-12x，抛物线的准线方程为x=3，
∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为-3，不妨设A在第二象限，则A（-3，6）．
设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|，
∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．
由勾股定理得|AB|=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{117}$=3$\sqrt{13}$．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线，双曲线的性质，属于中档题．