Question

14．已知命题P“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上任意一点Q到直线l₁：bx+ay=0，l₂：bx-ay=0的距离分别记作d₁，d₂则d₁，d₂为定值”是真命题
（1）求出d₁•d₂的值
（2）已知直线l₁，l₂关于y轴对称且使得椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上任意点到l₁，l₂的距离d₁，d₂满足${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$为定值，求l₁，l₂的方程
（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N两点，求|OM|+|ON|的最大值．

Answer 1

分析 （1）设“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上任意一点Q，求出点Q到直线l₁、l₂的距离d₁、d₂，计算d₁•d₂的值即可；
（2）根据题意，结合（1）的结论知，l₁与l₂的方程分别为bx-ay=0和bx+ay=0，验证是否满足条件即可；（3）根据题意，得出直线m的方程为bx-ay=0时，与椭圆C交于M，N两点，此时|OM|+|ON|取得最大值，求出即可．

解答 解：（1）设“双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上任意一点Q（x₀，y₀）
则点Q到直线l₁：bx+ay=0的距离为d₁=$\frac{{|bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，
点Q到直线l₂：bx-ay=0的距离为d₂=$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$；
∴d₁•d₂=$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$•$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$
=$\frac{{{{|b}^{2}x}_{0}}^{2}{{{-a}^{2}y}_{0}}^{2}|}{{a}^{2}{+b}^{2}}$
=$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$为定值；
（2）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上任意点P（x₀，y₀），
则点P到l₁，l₂的距离d₁，d₂满足${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$为定值，
由（1）知，l₁的方程为：bx-ay=0，l₂的方程为：bx+ay=0；
则d₁=$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，d₂=$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$；
∴${{d}_{1}}^{2}$+${{d}_{2}}^{2}$=$\frac{{（{bx}_{0}-{ay}_{0}）}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$+$\frac{{（{bx}_{0}+{ay}_{0}）}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$
=$\frac{2{{{（b}^{2}x}_{0}}^{2}{{{+a}^{2}y}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}}$
=$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$为定值；
∴直线l₁的方程为bx-ay=0，l₂的方程为bx+ay=0；
（3）根据题意，设直线m的方程为bx-ay+k=0，
当k=0时，直线bx-ay与椭圆C$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1交于M，N两点，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{bx-ay=0}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，y=$\frac{b}{\sqrt{2}}$或x=-$\frac{a}{\sqrt{2}}$，y=-$\frac{b}{\sqrt{2}}$；
此时|OM|+|ON|取得最大值，
是2$\sqrt{{（\frac{a}{\sqrt{2}}）}^{2}{+（\frac{b}{\sqrt{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{2{（a}^{2}{+b}^{2}）}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质的应用问题，考查了解方程与求最值的应用问题，
考查了点到直线的距离的应用问题，也考查了分析问题，解决问题的能力，是综合性题目．