Question

已知函数f（x）=

1 2 x2+1 ，(x≥0) -ln(1-x)，(x＜0)

，若函数F（x）=f（x）-kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出双曲线的渐近线方程，y=-ln（1-x）在x=0处的切线方程，即可得出结论．

解答： 解：由题意，x≥0，f（x）=

1

2

x2+1

为双曲线4y²-x²=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±

1

2

x；
当k=1时，由y=-ln（1-x），可得y′=

1

1-x

=1可得x=0，即y=-ln（1-x）在x=0处的切线方程为y=x，
此时函数F（x）=f（x）-kx有且只有1个零点，
∴若函数F（x）=f（x）-kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（

1

2

，1），
故选：C．

点评：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．