Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，曲线与轴交于点，证明： .

Answer 1

【答案】(1) （2）见解析（3）见解析

【解析】【试题分析】（1）当时，利用求得切点的坐标，利用求得斜率，结合点斜式得出切线方程.（2）对原函数求导并因式分解，然后对分类讨论函数的单调性.（3）当，由（2）知， ， .构造函数，利用导数判断的单调性，由此证明不等式成立.

【试题解析】

(1)当时， ，

=

切线的斜率，又，

故切线的方程为，即.

（2）且,

()当时, ,.

当时, ;当时, .

故在上单调递减,在上单调递增.

()当,有两个实数根.

①当时, ,故时, 时

时, .

故在上均为单调增函数,在上为减函数.

②当时, , ，

当且仅当时, ,故在上为增函数.

③当时, .当时, 当时， 故在上为增函数，在（1， ）上为减函数，

综上所述,当时, 在上单调递减,在上单调递增;当时, 在

、上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增；当时， 在、上为单调递增；在上单调递减.

（3）当，由（2）知， ， .

又.

.

设则.

当时， 故在上递减，而故当时， .

又，又在上单调递减； .

.