Question

12．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记a_n表示第n排的座位数．
（1）确定此看台共有多少个座位；
（2）设数列{2ⁿ•a_n}的前20项的和为S₂₀，求log₂S₂₀-log₂20的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得数列{a_n}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得a_n=2+（n-1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S₂₀，由等差数列前n项和公式即可求得S₂₀．
（2）由（1）可知2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，利用“错位相减法”即可求得数列{2ⁿ•a_n}的前20项的和为S₂₀，代入根据对数的运算性质即可求得log₂S₂₀-log₂20的值．

解答 解：（1）由题意可得数列{a_n}为等差数列，
首项a₁=2，公差d=1，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，（1≤n≤20），
∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S₂₀=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{（2+20+1）20}{2}$=230；
（2）由2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，
数列{2ⁿ•a_n}的前20项和S₂₀=2•2+3•2²+4•2³+…+21•2²⁰，
∴2S₂₀=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+21•2²¹，
两式相减得：-S₂₀=2•2+2²+2³+…+2²⁰-21•2²¹，
=2+$\frac{2-{2}^{21}}{1-2}$-21•2²¹，
=-20•2²¹，
∴S₂₀=20•2²¹，
log₂S₂₀-log₂20=log₂20•2²¹-log₂20=log₂20+log₂2²¹-log₂20=21．
∴log₂S₂₀-log₂20=21．

点评 本题考查等差数列性质的应用，考查等差前n项和公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．