Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2DC=2$\sqrt{3}$，且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD的重心，AC∩BD=F
（1）求证：GF∥平面PCD；
（2）求三棱锥G-PCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AG并延长与PD交于H，连接CH，推导出△DFC∽△AFB，从而AF：FC=AB：DC=2：1，由G是△PAD的重心，得AG：GH=2：1，进而GF∥HC，由此能证明GF∥平面PCD．
（2）三棱锥G-PCD的体积V_G-PCD=$\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{p-ECD}}$=$\frac{1}{3}$V_P-ACD．由此能求出结果．

解答 证明：（1）连接AG并延长与PD交于H，连接CH
∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFB，
∴AF：FC=AB：DC=2：1
∵G是△PAD的重心，∴AG：GH=2：1
∴GF∥HC
∵HC?平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PCD；
（2）∵△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，
∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∵AB=2DC=2$\sqrt{3}$，∴PE=3，
∵底面ABCD为梯形，AB∥CD，
∴${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin120°$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
三棱锥G-PCD的体积V_G-PCD=$\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{p-ECD}}$=$\frac{1}{3}$${V_{P-ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．