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    【题目】如图，梯形中，，矩形所在的平面与平面垂直，且.

    （Ⅰ）求证：平面平面；

    （Ⅱ）若为线段上一点，直线与平面所成的角为，求的最大值.

    【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

    【解析】

    试题

    (Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.

    (Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得.

    试题解析：

    （Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，

    则，所以，从而四边形为平行四边形，

    所以，从而.

    又因为平面平面且平面平面，

    所以平面.又平面，

    所以平面平面.

    （Ⅱ）解：由于是矩形，所以，

    由（Ⅰ）知：平面，

    以为坐标原点，分别以为的正方向建立空间直角坐标系，

    各点坐标如下：，，，，设点，

    平面的法向量为，

    则，，

    令，得平面的一个法向量为，

    所以 ，

    当时，，从而.

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    【题目】从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

    （Ⅰ）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作，）；

    （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．

    （i）若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？

    （ii）若该企业又生产了这种产品件，且每件产品相互独立，则这件产品质量指标值不低于的件数最有可能是多少？

    附：参考数据与公式：，；若，则①；②；③．

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    【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

    （1）求椭圆的方程;

    （2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

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    【题目】（1）若，且，则的取值范围是______.

    （2）若，，且，则的取值范围是______.

    （3）已知，且，则的最小值是______.

    （4）已知实数，，若，，且，则的最小值______.

    （5）已知实数，，若，，则的最小值______.

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    【题目】在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

    （1）求证：平面平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．

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    【题目】椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程．

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    【题目】如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）求二面角的余弦值；

    （3）若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长.

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    【题目】若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.

    （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

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