Question

【题目】若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.

（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不是“依赖函数”；（2），（3）

【解析】

（1）取特殊值，得到，无解，由此证得不是“依赖函数”.（2）根据的单调性和函数值为正数，得到，化简后求得的关系式，代入并化简，利用二次函数单调性求得的取值范围.（3）对分成，，两种情况，根据“依赖函数”的定义，求得的值.由此化简不等式，利用判别式和对钩函数的性质，求得实数的最大值.

解：（1）对于函数的定义域内存在，则，无解.

故不是“依赖函数”；

（2）因为在递增，故，即，

由，故，得，

从而在上单调递增，故，

（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；

②若故在上单调递减，

从而，解得（舍）或.

从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，

即恒成立，由，

得，由，可得，

又在单调递减，故当时，，

从而，解得，

综上，故实数的最大值为．