Question

【题目】椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线方程为：或。

【解析】

试题（Ⅰ）由已知条件椭圆过点，将代入方程，得到一个方程，再由，可得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程，椭圆右焦点． 当直线的斜率不存在时，验证不符合条件，故直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，由，由根与系数关系即可求出斜率，从而可得直线的方程。

也可设设直线的方程为，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，由根与系数关系即可求出斜率，从而可得直线的方程。

试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得

所以椭圆的方程为：

（2）①当直线的倾斜角为时，

，不适合题意

②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，

代入得：

设，则

，

所以直线方程为：或