Question

【题目】如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为对角线B1D上的一点，M，N为对角线AC上的两个动点，且线段MN的长度为1．
⑴当N为对角线AC的中点且DE= 时，则三棱锥E﹣DMN的体积是；
⑵当三棱锥E﹣DMN的体积为 时，则DE= ．

Answer 1

【答案】 ；
【解析】解：（1）∵底面ABCD是边长为2的正方形，N是AC的中点，

∴AC⊥BD，DN= ，

∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，

∴AC⊥平面BB1D，

故当N为AC的中点时，有MN⊥平面DEN，

又DB1=2 ，BB1=2，∴sin∠BDB1= = ，

∴VE﹣DMN=VM﹣DEN= = = ．

⑵设三棱锥E﹣DMN的高为h，

则VE﹣DMN= = = = ，

∴h= ，

∵ ，即 ，∴DE= ．

所以答案是：（1） ，（2） ．