Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点P（1，$\frac{3}{2}$），焦距为2，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于A、B两点，过（5，0）点且平行于l的直线与抛物线交于C、D两点，A与C在x轴上方，若AC与BD交点位于x轴上
（1）求椭圆与抛物线方程；
（2）求出直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，求出a，可得b，即可得出椭圆的方程，利用抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（1，0），得抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），根据三角形的相似比得它们纵坐标的关系，根据直线l与椭圆方程得到式①，再根据直线m与抛物线方程得到式②，最终得到l方程．

解答 解：（1）由题意，焦点为（-1，0），（1，0），
∴2a=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴a=2，
∵c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（1，0），∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD与x轴的交点记为点N，
直线l的方程为x=ty-1，直线m的方程为：x=ty+5，
依题意得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}}{{y}_{4}}$，令$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}}{{y}_{4}}$=λ（λ＜0），
由x=ty-1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1消去x，得（3t²+4）y²-6ty-9=0，
则y₁+y₂=$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
把y₁=λy₂代入整理得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{4{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$①
由x=ty+5代入y²=4x消去x，得y²-4ty-20=0，
则y₃+y₄=4t，y₃y₄=-20，把y₃=λy₄代入，整理得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{4}{5}$t²②
由①②消去λ，得$\frac{4{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{4}{5}$t²，解得t=0或t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故直线l的方程为：x=-1或x±$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+1=0．

点评 本题考查了椭圆的基本性质、直线方程、直线与椭圆的交点、直线与抛物线交点、平行直线的性质，对学生的综合能力有很高的要求．