Question

5．设f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1]，f（x）=x²+1
（1）f（x）在（1，2）上增，（2，3）上减           
（2）f（2016）=1
（3）f（x）图象关于x=2k+1（k∈Z）对称
（4）当x∈[3，4]时，f（x）=（x-4）²+1
则正确的个数有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]，f（x）=x²+1，当x∈[-1，0]时，f（x）=x²+1，再根据f（x）在一个周期[-1，1]上的图象，数形结合逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为2的周期函数．
当x∈[0，1]，f（x）=x²+1，故当x∈[-1，0]时，f（x）=x²+1．
故函数f（x）在一个周期[-1，1]上的图象如图所示：
故有 f（x）在（1，2）上递减，（2，3）上递增，故（1）错误；
f（2016）=f（0）=1，故（2）正确；
函数f（x）图象关于x=2k+1（k∈Z）对称，故（3）正确；
（4）当x∈[3，4]时，x-4∈[-1，0]，f（x）=（x-4）²+1，故（4）正确，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性，函数的周期性和单调性，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．