Question

17．若正数x，y满足x+y=1，则xy+$\frac{1}{xy}$的取值范围$[\frac{17}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 正数x，y满足x+y=1，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$，令xy=t∈$（0，\frac{1}{4}]$，则xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵正数x，y满足x+y=1，∴1≥2$\sqrt{xy}$，解得$0＜xy≤\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号．
令xy=t∈$（0，\frac{1}{4}]$，则xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），
f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，∴函数f（t）在t∈$（0，\frac{1}{4}]$上单调递减，
∴f（t）≥$f（\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{4}$+4=$\frac{17}{4}$．
故答案为：$[\frac{17}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．