Question

14．分别判断数列{a_n}是否有极限，并说明理由．
（1）a_n=$\frac{n+1}{n}$．
（2）a_n=1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{n+1}{n}$=$1+\frac{1}{n}$，可知当n→+∞时，$\frac{1}{n}$→0，得到数列极限为1；
（2）由a_n=1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+$（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}$，可知，当n→+∞时，$（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}$→0，得到数列极限为1．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{n+1}{n}$=$1+\frac{1}{n}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{1}{n}）=1$；
∴数列{$\frac{n+1}{n}$}有极限为1；
（2）∵a_n=1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+$（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=\underset{lim}{n→∞}[1+（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}]$=1．
∴数列{1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ}有极限为1．

点评 本题考查数列极限，考查数列极限的求法，是中档题．