Question

4．已知光线经过已知直线l₁：3x-y+7=0和l₂：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l₃的方程．
（3）求与l₃距离为$\sqrt{10}$的直线方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；
（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；
（3）设出与l₃平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}3x-y+7=0\\ 2x+y+3=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right.$，∴M（-2，1）．
所以点M关于x轴的对称点P的坐标（-2，-1）． …（4分）
（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
直线MN的倾斜角为α，则直线l₃的斜斜角为180°-α.${k_{MN}}=\frac{0-1}{1-（-2）}=-\frac{1}{3}$，所以直线l₃的斜率${k_3}=\frac{1}{3}$．
故反射光线所在的直线l₃的方程为：$y=\frac{1}{3}（x-1）$．即$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$．…（9分）
解法二：
因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．
所以反射光线所在的直线l₃的方程就是直线PN的方程．
直线PN的方程为：$\frac{y-0}{-1-0}=\frac{x-1}{-2-1}$，整理得：$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$．
故反射光线所在的直线l₃的方程为$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$．…（9分）
（3）设与l₃平行的直线为$y=\frac{1}{3}x+b$，
根据两平行线之间的距离公式得：$\frac{{|{b+\frac{1}{3}}|}}{{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}}=\sqrt{10}$，解得b=3，或$b=-\frac{11}{3}$，
所以与l₃$距离为\sqrt{10}的直线方程$为：$y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}$，或$y=\frac{1}{3}x+3$．…（13分）

点评 本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．