Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA∥平面EDB
（Ⅱ）AD⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明AD⊥平面PCD，即可证明AD⊥PC．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，…（3分）
∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…（5分）
（Ⅱ）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．…（8分）
∴AD⊥PC．…（12分）

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．