Question

6．如图（1），△ABC中，∠ABC=90°，$AB=BC=2\sqrt{2}$，M为AC中点，现将△ABM沿着BM边折起，如图（2）所示．

（Ⅰ）求证：平面BCM⊥平面ACM．
（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，求三棱锥B-ACM外接球的直径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的判定定理，可得平面BCM⊥平面ACM．
（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，则AM、MC、BM两两垂直，即该三棱锥外接球与以MA、MB、MC为相邻棱组成的长方体的外接球为同一个球，进而可得答案．

解答 证明：（I）由图1知，BM⊥AM，BM⊥MC，AM∩MC=M，
所以BM⊥平面AMC．…（3分）
又因为BM?平面BMC，
所以平面BCM⊥平面ACM．…（4分）
解：（II）因为平面ABM⊥平面BCM，平面ABM∩平面BCM=BM，BM⊥AM，AM?平面ABM，
所以AM⊥平面BMC．…（6分）
所以AM⊥MC，即AM、MC、BM两两垂直，
而易知AM=BM=MC=2，
所以该三棱锥外接球与以MA、MB、MC为相邻棱组成的长方体的外接球为同一个球，
所以三棱锥B-ACM外接球的直径为$\sqrt{{2^2}+{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{3}$．…（8分）

点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，球内接多面体，难度中档．