Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（2a+2）x+（2a+1）lnx$，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于零，
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）对任意x₁，x₂∈[0，2]（x₁≠x₂），$a∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$，恒有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＜λ|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，并分解因式，由题意可得f′（2）=$\frac{1-2a}{2}$＜0，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）求出2a+1的范围，可得f（x）在[0，2]递减，由题意可得原不等式即为f（x₁）-λ•$\frac{1}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-λ•$\frac{1}{{x}_{2}}$，
对任意的$a∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$，x₁，x₂∈[0，2]恒成立，令g（x）=f（x）-$\frac{λ}{x}$，即有g（x₁）＜g（x₂），即为g（x）在[1，2]递增，求出g（x）的导数，令导数大于等于0，再由一次函数的单调性可得只需$\frac{5}{2}$（2x-2x²）a+x³-2x²+x+λ≥0．即x³-7x²+6x+λ≥0对x∈[0，2]恒成立，令h（x）=x³-7x²+6x+λ，求出导数，求得单调区间和最小值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2a+2）x+（2a+1）lnx的导数
f′（x）=x-（2a+2）+$\frac{2a+1}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2a-1）}{x}$，x＞0，
由题意可得f′（2）=$\frac{1-2a}{2}$＜0，可得a＞$\frac{1}{2}$，2a+1＞2＞1，
由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．
即有f（x）的增区间为（0，1），（2a+1，+∞）；减区间为（1，2a+1）；
（2）由$a∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$，可得2a+1∈[4，6]，
由（1）可得f（x）在[1，2]递减．
设0≤x₁＜x₂≤2，即有f（x₁）＞f（x₂），$\frac{1}{{x}_{1}}$＞$\frac{1}{{x}_{2}}$，
原不等式即为f（x₁）-λ•$\frac{1}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-λ•$\frac{1}{{x}_{2}}$，
对任意的$a∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$，x₁，x₂∈[0，2]恒成立，
令g（x）=f（x）-$\frac{λ}{x}$，即有g（x₁）＜g（x₂），即为g（x）在[0，2]递增，
即有g′（x）≥0对任意的$a∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$，x₁，x₂∈[0，2]恒成立，
即x-（2a+2）+$\frac{2a+1}{x}$+$\frac{λ}{{x}^{2}}$≥0，即为x³-（2a+2）x²+（2a+1）x+λ≥0，
则（2x-2x²）a+x³-2x²+x+λ≥0，$a∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$，
由x∈[0，2]，可得2x-2x²≤0，只需$\frac{5}{2}$（2x-2x²）a+x³-2x²+x+λ≥0．
即x³-7x²+6x+λ≥0对x∈[0，2]恒成立，
令h（x）=x³-7x²+6x+λ，h′（x）=3x²-14x+6≤0在0≤x≤2恒成立，
则有h（x）在[0，2]递减，可得h（2）取得最小值，且为-8+λ≥0，
解得λ≥8．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数和单调性，考查运算能力，具有一定的难度．