Question

15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2$\sqrt{3}$，DE⊥面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{2}{3}$BD．
（1）求证：FB∥面ACE；
（2）若二面角C-BF-D的大小为60°，求CF与面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC交BD于O，连接EO，求出DB=3．证明AD⊥DB，然后证明EO∥FB．即可证明FB∥面ACE．
（2）以DA，DB，DE所在直线建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BCF的法向量，平面BDEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线CF与面ABCD所成角的正弦．

解答 解：（1）证明：设AC交BD于O，连接EO，在△ABD中，
由余弦定理可得：DB=3．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥DB，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．
∴$\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=2$，∴$BO=\frac{2}{3}BD=EF$，
又EF∥BD，∴四边形BOEF为平行四边形．
∴EO∥FB．
又∵EO?面ACE，FB?面ACE，
∴FB∥面ACE．
（2）∵DE⊥面ABCD
∴DE⊥DA，DE⊥DB，
分别以DA，DB，DE所在直线建立如图所示空间直角坐标系，
则$B（0，3，0），C（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，设DE=h，则F（0，2，h）
∴$\overrightarrow{BC}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{BF}=（0，-1，h）$，
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_0}-\frac{3}{2}{y_0}=0}\\{-{y_0}+h{z_0}=0}\end{array}}\right.$，
取z₀=1，有$\overrightarrow{n_1}=（-\sqrt{3}h，h，1）$
易知平面BDEF的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$
∴$|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=cos{60°}$
解得$h=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
∴$\overrightarrow{CF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，易知面ABCD的一个法向量$\overrightarrow{n_3}=（0，0，1）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{n_3}＞|=\frac{{|\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n_3}|}}{{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{n_3}|}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{4}}}{{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}}}=\frac{1}{3}$
∴直线CF与面ABCD所成角的正弦为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查空间向量的应用，二面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．