Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊，数列{b_n}满足：b_n=log₃a_n，n∈N₊，
（1）求数列{a_n}的通项公式及{a_n}前n项的和T_n；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求{c_n}前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）判断数列{a_n}是等比数列，然后求解数列的通项公式及{a_n}前n项的和T_n；
（2）利用关系式求出数列{c_n}的通项公式c_n=a_nb_n，利用错位相减法求{c_n}前n项的和S_n．

解答： 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=3a_n得{a_n}为等比数列，公比为3，首项为1，
故an=a1qn-1=3n-1，Tn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)----------（5分）
（2）bn=log3an=log33n-1=n-1cn=anbn=(n-1)3n-1…．（7分）
Sn=(1-1)31-1+(2-1)32-1+(3-1)33-1+…+(n-1)3n-1…①…（9分）
①式左右两端乘以3得：3Sn=(1-1)31-13+(2-1)32-13+(3-1)33-13+…+(n-1)3n-1.3
即3Sn=(1-1)32-1+(2-1)33-1+(3-1)34-1+…+(n-1)3n-1+1．…．②
①-②错位相消得：-2Sn=31+32+33+…+3n-1-(n-1)3n．
故得   Sn=

3(1-3n-1)

4

+

1

2

(n-1)3n…．（13分）

点评：本题考查数列求和的方法错位相减法的应用，等比数列的应用，递推关系式的应用，考查计算能力．