Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°．
（1）求线段AC₁的长；
（2）求异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（1）设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，由于

AC1

=

a

+

b

+

c

，利用数量积运算性质

AC1

2=(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

即可得出．
（2）利用向量夹角公式cos＜

A1D

，

AC1

＞=

A1D • AC1

| A1D || AC1 |

即可得出．

解答： 解：（1）设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
则|

a

|=|

b

|=1，|

c

|=2，

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=2×1×cos120°=-1．
∵

AC1

=

a

+

b

+

c

，
∴

AC1

2=(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

=1+1+4+0-2-2=2，
∴|

AC1

|=

2

．
（2）

A1D

=

b

-

c

，
∴|

A1D

|=

b 2+ c 2-2 b • c

=

1+22-2×(-1)

=

7

．

A1D

•

AC1

=(

b

-

c

)•(

a

+

b

+

c

)=

a

•

b

+

b

2-

a

•

c

-

c

2=0+1-（-1）-2²=-2．
∴cos＜

A1D

，

AC1

＞=

A1D • AC1

| A1D || AC1 |

=

-2

7 × 2

=-

14

7

．
∴异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值为

14

7

．

点评：本题考查了向量的平行六面体法则、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了空间想象能力，考查了计算能力，属于中档题．