Question

10．如图，若∠OFB=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FB}$=-6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 根据已知条件可设椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，并且可得到a=$|\overrightarrow{FB}|，b=|\overrightarrow{OB}|，c=|\overrightarrow{OF}|$，再根据$∠OFB=\frac{π}{6}，\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FB}=-6$即可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{ac•（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=-6}\end{array}\right.$，解出a，c，从而得到b²，从而得出椭圆的标准方程．

解答 解：根据已知条件知：c=$|\overrightarrow{OF}|$，a=|$\overrightarrow{FB}$|，b=$|\overrightarrow{OB}|$；
又$∠OFB=\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FB}=-6$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{cos∠OFB=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{a}}\\{ac•（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=-6}\end{array}\right.$；
解得a=$\sqrt{8}$，c=$\sqrt{6}$；
∴b²=2；
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．

点评 考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．