Question

15．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}a=2csinA$．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可求角C的大小
（2）直接利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$求解出b，再用余弦定理可得．

解答 解：（1）△ABC是锐角，a，b，c是角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}a=2csinA$．
由正弦定理得：$\sqrt{3}sinA=2sinC•sinA$
∵△ABC是锐角，
∴$sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故C=$\frac{π}{3}$；
（2）a=2，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
根据△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×b×sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
解得：b=3．
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×3=7
∴c=$\sqrt{7}$．
故得c的值为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力．