Question

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²+2x，若f（2-a²）＞f（a²），则实数a的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 题意可先判断出f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在（0，+∞）上单调递增，根据偶函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，从而可比较2-a²与a²的大小，解不等式可求a的范围．

解答 解：∵f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）是定义在R上的偶函数，
根据偶函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（2-a²）＞f（a²），
∴|2-a²|＞a²，
解不等式可得，-1＜a＜1，
故答案为：（-1，1）

点评 本题主要考查了偶函数在对称区间上的单调性相反（奇函数对称区间上的单调性相同）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于中档题．