Question

14．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，E、F、G分别是BC、CC₁、BB₁的中点．
（1）若BC=BB₁，求证：BC₁⊥平面AEG；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=45°，四棱锥C-A₁B₁BD的体积为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求三棱锥F-AEC的表面积．

Answer 1

分析 （1）证明AE⊥平面B₁BCC₁，则AE⊥BC₁，证明BC₁⊥GE，因为GE∩AE=E，所以BC₁⊥平面AEG；
（2）证明CD⊥平面A₁ABB₁，所以CD⊥A₁D，利用条件求出AB，即可求三棱锥F-AEC的表面积．

解答 （1）证明：如图，因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，又BC∩BB₁=B，
所以AE⊥平面B₁BCC₁，则AE⊥BC₁，…（3分）
连接B₁C，易知四边形B₁BCC₁为正方形，则BC₁⊥B₁C，
又GE∥B₁C，则BC₁⊥GE，因为GE∩AE=E，所以BC₁⊥平面AEG．…（6分）

（2）解：因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CD⊥AA₁，
所以CD⊥平面A₁ABB₁，所以CD⊥A₁D．…（7分）
设AB=a，由题意，∠CA₁D=45°，所以CD=A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{1}{2}•\frac{3}{2}a•\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴a=2，
故三棱锥F-AEC的表面积$S=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{\frac{2}{4}+1}+\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．