Question

10．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（Ⅰ）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；
（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A_i表示所取得人中有i个人是“极满意”，至少有一人是“极满意”记为事件A，利用古典概率计算公式与相互对立事件的概率计算公式即可得出．
（II）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得$X-B（{3，\frac{1}{4}}）$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设A_i表示所取得人中有i个人是“极满意”，至少有一人是“极满意”记为事件A，
则$P（A）=1-P（{A_0}）=1-\frac{{C_{12}^3}}{{C_{16}^3}}=\frac{17}{28}$．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得$X-B（{3，\frac{1}{4}}）$．
∴$P（{X=0}）={（{\frac{3}{4}}）^3}=\frac{27}{64}$，$P（{X=1}）=C_3^1（{\frac{1}{4}}）×{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{27}{64}$，$P（{X=2}）=C_3^2{（{\frac{1}{4}}）^2}×（{\frac{3}{4}}）=\frac{9}{64}$，$P（{X=3}）={（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{1}{64}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴$EX=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式与相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．