Question

18．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{x+3}}，x＜0\\ \sqrt{-{x^2}+2x}，0≤x≤2\end{array}\right.$若g（x）=f（x）-kx-2k恰有两个两点，则实数k的取值范围为$（{e^2}，\frac{e^3}{2}）∪[0，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$．

Answer 1

分析 由题意可得，f（x）=k（x+2）有两个不等的实根，作出y=f（x）的图象和直线y=k（x+2），通过图象观察它们有两个交点的情况，注意运用导数求切线的斜率和直线和圆相切的条件：d=r

解答 解：函数g（x）=f（x）-kx-2k恰有两个零点，
即为f（x）=k（x+2）有两个不等的实根，如图：
当x＜0时，直线和曲线相切，设切点为（m，km+2k），
f′（x）=e^x+3，f′（m）=e^m+3，
由e^m+3=km+2k，k，k≠0，解得k=e²，m=-1，
k＜$\frac{{e}^{3}}{2}$，
当直线经过点（0，e³），k=$\frac{{e}^{-3}}{2}$时，直线和曲线有两个交点，
当直线kx-y+2k=0和半圆相切，d=r=1，圆心为（1，0），
由$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（负的舍去），
由图象可得，0≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，直线和半圆有两个交点．
则有k的取值范围是：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪[e²，$\frac{{e}^{3}}{2}$）．
故答案为：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪[e²，$\frac{{e}^{3}}{2}$）．

点评 本题考查函数的零点的求法，主要考查函数和方程的转化思想，运用数形结合的思想方法是解题的关键．