Question

9．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两个焦点分别为F₁，F₂，以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线渐近线一个交点为（4，3），则该双曲线的实轴长为（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 4
• D． 10

Answer 1

分析 根据题意，点（4，3）到原点的距离等于半焦距，可得a²+b²=25．由点（4，3）在双曲线的渐近线上，得到$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，两式联解得出a=3，b=4，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦点在y轴上，下、上焦点分别为F₁，F₂，
∴以|F₁F₂|为直径的圆的方程为x²+y²=c²，a
∵以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+9={c}^{2}}\\{4×\frac{a}{b}=3}\end{array}\right.$，解得a=3，b=4，
∴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$．
双曲线的实轴长2a=6，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中档题．