Question

6．已知函数f（x）=ln（ax）-$\frac{x-a}{x}$（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）先求出函数的定义域，再求导，然后分类讨论求出函数的单调区间和最值；（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断．

解答 解（Ⅰ）由题意知，定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，由于a＞0，则x=a；
故当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）递减，
故f（x）_min=f（a）=2lna=2，a=e；--------------（4分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞0）
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
设切点为T（x₀，lnx₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1），
∴切线的斜率k=$\frac{{x}_{0}-1}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{l{nx}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}-1-1}{{x}_{0}+1}$，
∴lnx₀+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$-3=0，①
设g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}-x-1}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）是减函数，（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）上是增函数，
∵g（1）=ln1+1+1-3=-1＜0，g（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$+2+4-3=3-ln2＞0，
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（$\frac{1}{2}$，1）内有且仅有一根，
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力．