Question

2．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{alnx+x+\frac{3}{x}，x≥1}\\{{x^3}+a{x^2}+2x-2，x＜1}\end{array}}\right.$，a∈R．
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，2）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论x的范围，分离参数a，根据既不不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）当x≥1时，$f（x）=-2lnx+x+\frac{3}{x}$，${f^'}（x）=\frac{-2}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{{{x^2}-2x-3}}{x^2}$，
由f′（x）＞0，得x＞3；由f′（x）＜0得1＜x＜3，x＜1时，f（x）=x³-2x²+2x-2，
${f^'}（x）=3{x^2}-4x+2=3{（x-\frac{2}{3}）^2}+\frac{2}{3}＞0$，
综上所述，函数f（x）的单增区间为（-∞，1），（3，+∞）；单减区间为（1，3）．
（2）当1＜x＜2时，$f（x）=alnx+x+\frac{3}{x}$，${f^'}（x）=\frac{a}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{{{x^2}+ax-3}}{x^2}≥0$恒成立，
则$-a≤x-\frac{3}{x}$在区间（1，2）上恒成立，
而函数$y=x-\frac{3}{x}$在区间（1，2）上单调递增，所以-a≤-2，即a≥2；
当0＜x＜1时，f（x）=x³+ax²+2x-2，f′（x）=3x²+2ax+2≥0恒成立，
则$-2a≤3x+\frac{2}{x}$在区间（0，1）上恒成立，
而x∈（0，1）时$3x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{6}$，等号当且仅当$x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$时成立，
所以$-2a≤2\sqrt{6}$，即$a≥-\sqrt{6}$，
由于f（x）在区间（0，2）上单调递增，
故$\left\{{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥-\sqrt{6}}\\{1+a+2-2≤1+3}\end{array}}\right.$，解得2≤a≤3．
所以所求实数a的取值范围是[2，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查既不不等式的性质，是一道中档题．