Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{（1+x）^{2}}$+$\frac{1}{（1-x）^{2}}$（0≤x＜1），求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 由题意求导数可判f′（x）=$\frac{-4（1+3{x}^{2}）}{（1+x）^{3}（1-x）^{3}}$＞0，可得单调递增区间．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{（1+x）^{2}}$+$\frac{1}{（1-x）^{2}}$=（1+x）^-2+（1-x）^-2，
∴f′（x）=-2（1+x）^-3-2（1-x）^-3=-2[（$\frac{1}{1+x}$）³+（$\frac{1}{1-x}$）³]
=-2$\frac{（1-x）^{3}+（1+x）^{3}}{（1+x）^{3}（1-x）^{3}}$=-2[（1-x）（1+x）]$\frac{（1-x）^{2}-（1-x）（1+x）+（1+x）^{2}}{（1+x）^{3}（1-x）^{3}}$
=$\frac{-4（1+3{x}^{2}）}{（1+x）^{3}（1-x）^{3}}$，∵0≤x＜1，∴1+3x²＞0，（1+x）³＞0，（1-x）³＞0，
∴f′（x）=$\frac{-4（1+3{x}^{2}）}{（1+x）^{3}（1-x）^{3}}$＞0，
故y=f（x）的单调递增区间为[0，1）．

点评 本题考查函数的单调性和单调区间，涉及导数与函数的单调性的关系，属中档题．