Question

18．设F（x）=${∫}_{0}^{x}$tf（x²-t²）dt，f（x）连续，则F′（x）=xf（x²）．

Answer 1

分析 根据题意，令u=x²-t²，表示出F（x）=${∫}_{0}^{x}$tf（x²-t²）dt=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{{x}^{2}}$f（u）du；求出F′（x）即可．

解答 解：令u=x²-t²，
则当t=0时，u=x²；
当t=x时，u=0，且$\frac{d}{dt}$u=-2t；
∴F（x）=${∫}_{0}^{x}$tf（x²-t²）dt=$\frac{1}{2}$${∫}_{{x}^{2}}^{0}$f（u）du=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{{x}^{2}}$f（u）du；
∴F′（x）=$\frac{1}{2}$•f（x²）•2x=xf（x²）．
故答案为：xf（x²）．

点评 本题考查了定积分与求函数导数的应用问题，也考查了换元法与构造函数的应用问题，是难题．