Question

7．已知定义在实数集R上的函数f（x）又f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞0时f（x）＜0，f（2）=-1．
（1）求证：f（x）是在R上单调递减的奇函数；
（2）解不等式f（x²）-f（3x）≥1．

Answer 1

分析 （1）可设x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₁+x₂=0，即可判断f（x）的奇偶性；再令令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，再由单调性的定义，即可判断f（x）的单调性；
（2）运用奇函数的定义，可得f（-2）=1，f（x²）-f（3x）≥1，即为f（x²）≥f（3x）+f（-2）=f（3x-2），再由单调性的定义，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）证明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
设x₁=x₂=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，
令x₁+x₂=0，可得f（0）=f（x₁）+f（x₂），
即有f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数；
令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，
即为f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
即有f（x）在R上为减函数；
（2）由f（2）=-1，可得f（-2）=1，
f（x²）-f（3x）≥1，即为
f（x²）≥f（3x）+f（-2）=f（3x-2），
由f（x）为R上的减函数，可得x²≤3x-2，
解得1≤x≤2，
则解集为[1，2]．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的证明和运用，注意运用定义法，考查二次不等式的解法，属于中档题．