Question

20．已知b＞a＞$\frac{1}{2}$，且a²+b+k=a，b²+a+k=b，求k的范围．

Answer 1

分析 把a²+b+k=a，b²+a+k=b，两式相减得到a+b=2，求出a的范围，再把b=2-a代入a²+b+k=a，得到关于k=-a²+2a-2=-（a-1）²-1的函数，根据二次函数的性质即可求出k的取值范围．

解答 解：∵b＞a＞$\frac{1}{2}$，a²+b+k=a，b²+a+k=b，
∴a²-b²+b-a=a-b，
∴a+b=2，即b=2-a，
∴2-a＞$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
∵a²+b+k=a
∴a²+2-a+k=a，
∴k=-a²+2a-2=-（a-1）²-1，
∴函数k在（$\frac{1}{2}$，1）上为增函数，在（1，$\frac{3}{2}$）上为减函数，
当a=1时，k有最大值，即为-1，
当a=$\frac{1}{2}$，或a=$\frac{3}{2}$时，k＞-$\frac{5}{4}$，
故k的取值范围为（-$\frac{5}{4}$，-1]．

点评 本题考查了二次函数的性质，关键是求出a的取值范围，属于中档题．