Question

【题目】已知定义在区间上的函数满足，且当时，.

（1）求的值；

（2）证明：为单调增函数；

（3）若，求在上的最值.

Answer 1

【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．

【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求 的值；
（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．
（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．

试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．

（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，

∴f（）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．

（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．

若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，

即f（5）=f（1）=f（）+f（5）=0，

即f（5）=1，

则f（5）+f（5）=f（25）=2，

f（5）+f（25）=f（125）=3，

即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．