Question

（2013•东至县一模）若直角坐标平面内M、N两点满足：
①点M、N都在函数f（x）的图象上；
②点M、N关于原点对称，则称这两点M、N是函数f（x）的一对“靓点”．
已知函数f(x)=

3x，x≤0 x-3，x＞0

则函数f（x）有

一

对“靓点”．

Answer 1

分析：根据“靓点”的定义可设y=x-3上任取一点M（x，y）（x＞0），则关于原点对称的点为N（-x，-y），点N（-x，-y）在函数f（x）的图象上，转化成方程3-x=3^-x（x＞0）解的个数，然后转化成y=3-x，y=3^-x（x＞0）的图象的交点个数即可．

解答：解：设y=x-3上任取一点M（x，y）（x＞0）
则关于原点对称的点为N（-x，-y），
根据“靓点”的定义可知点N（-x，-y）在函数f（x）的图象上，
则f（-x）=3^-x=-y
∴

y=x-3 -y=3-x x＞0

即3-x=3^-x（x＞0）
方程3-x=3^-x（x＞0）解的个数可看成y=3-x，y=3^-x（x＞0）的图象的交点个数
作出y=3-x，y=3^-x（x＞0）的图象可知有且只有一个交点
故函数f（x）有一对“靓点”．
故答案为：一

点评：本题主要考查了新定义，以及函数图象，同时考查了函数与方程的思想，属于基础题．