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(2013•东至县一模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=
3
asinC-ccosA

(1)求角A;
(2)若a=2,△ABC的面积为
3
,求b,c.
分析:(1)把已知的等式利用正弦定理化简,根据sinC不为0,得到一个关系式,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;
(2)由A的度数求出sinA和cosA的值,由三角形ABC的面积,利用面积公式及sinA的值,求出bc的值,记作①;由a与cosA的值,利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后,把bc的值代入求出b+c的值,记作②,联立①②即可求出b与c的值.
解答:解:(1)由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
化简已知的等式得:sinC=
3
sinAsinC-sinCcosA,
∵C为三角形的内角,∴sinC≠0,
3
sinA-cosA=1,
整理得:2sin(A-
π
6
)=1,即sin(A-
π
6
)=
1
2

∴A-
π
6
=
π
6
或A-
π
6
=
6

解得:A=
π
3
或A=π(舍去),
则A=
π
3

(2)∵a=2,sinA=
3
2
,cosA=
1
2
,△ABC的面积为
3

1
2
bcsinA=
3
4
bc=
3
,即bc=4①;
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得:4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,
整理得:b+c=4②,
联立①②解得:b=c=2.
点评:此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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1-(
1
2
)
x
的定义域是
[0,+∞)
[0,+∞)

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5
4
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3x,x≤0
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