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已知椭圆的中心在原点,一个焦点,且长轴长与短轴长的比是.若椭圆在第一象限的一点的横坐标为1,过点作倾斜角互补的两条不同的直线分别交椭圆于另外两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求证:直线的斜率为定值;
(Ⅲ)求面积的最大值.
(Ⅰ)设椭圆的方程为

由题意 ………………………2分
解得 .所以椭圆的方程为.……………4分
(Ⅱ)由题意知,两直线的斜率必存在,设的斜率为,则的直线方程为.

.………………6分
,则,同理可得
.
所以直线的斜率为定值. ……………………8分
(Ⅲ)设的直线方程为.由.
,得.……………………10分
此时.的距离为
.
因为使判别式大于零,所以当且仅当时取等号,所以面积的最大值为.…12分
(1)由题目条件知,并且还知道, 从而解出a,b的值.
(2)先设直线PB的方程为, 它与椭圆方程联立,消去y后得关于x的一元二次方程,根据1和点B的横坐标为方程的两个根,借助韦达定理,求出B的横坐标,同时可求出A的横坐标,从而求出,再借助其直接方程可求出,证明出为定值.
(III) 设的直线方程为, 它与椭圆方程联立消y得关于x的一元二次方程,由弦长公式求出|AB|的长,然后再借助点到直线的距离公式求出高,从而用m表示出的面积.再利用函数的方法求最值即可
(Ⅰ).(Ⅱ)为定值.(Ⅲ)面积的最大值为
练习册系列答案
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