【题目】已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
()求椭圆的方程.
()过定点
的动直线
,交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:()由题可知
,则
,椭圆经过点
,带入可得
,由此可知所求椭圆方程为
;(2)分别求出
与
轴平行时和
与
轴垂直时得圆得方程,联立可求得两圆得切点,进而推断所求的点
如果存在只能是
,当直线
与
轴垂直时,以
为直径的圆过点
,当直线
不垂直于
轴时设直线
的方程为
,与椭圆的方程联立求得
,证明出
,即以
为直径得圆恒过点
.
试题解析:()∵椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴,
∴,
又∵椭圆经过点,代入可得
,
∴,故所求椭圆方程为
.
()当
与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
,
当与
轴垂直时,以
为直径的圆的方程:
,
由,
解得,
即两圆公共点,因此,所求的点
如果存在,只能是
.
(i)当直线斜率不存在时,以
为直径的圆过点
.
(ii)若直线斜率存在时,可设直线
.
由,消去
得:
,
记点、
,
则,
∵,
,
∴,
.
∴,
综合(i)(ii),以为直径的圆恒过点
.
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【题目】对于函数,若存在实数
,使
成立,则称
为
的不动点.
(1)当时,求
的不动点;
(2)若对于任意的实数 函数
恒有两个相异的不动点,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若的图象上
两点的横坐标是函数
的不动点,且直线
是线段
的垂直平分线,求实数
的取值范围.
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【题目】某人租用一块土地种植一种瓜类作物,租期5年,根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如图所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为455kg.当年产量低于450kg时,单位售价为12元/kg,当年产量不低于450kg时,单位售价为10元/kg.
(1)求图中a的值;
(2)以各区间中点值作为该区间的年产量,并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率,求年销售额X(单位:元)的分布列;
(3)求在租期5年中,至少有2年的年销售额不低于5000元的概率.
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【题目】已知函数且点(4,2)在函数f(x)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式,并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)<1的解集;
(3)若方程f(x)-2m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)
(1)若f(x)在区间[2,3]上的最大值为4、最小值为1,求a,b的值;
(2)若a=1,b=1,关于x的方程f(|2x﹣1|)+k(4﹣3|2x﹣1|)=0,有3个不同的实数解,求实数k的值.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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