Question

【题目】如图，在锐角中，垂心关于边、、的对称点分别为、、，关于边、、的中点、、的对称点分别为、、.证明：

（1）、、、、、六点共圆；

（2）；

（3）.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

证明：（1）如图，作的外接圆.

下面证明：、、、、、均在上.

由为的垂心关于边的对称点，则.

故

.

因为是的对顶角，且，

所以四边形中，

.

这表明，点、、、同在上.

类似地，点、也在上.

再由点为关于边在中点的对称点，则.

又，得四边形为平行四边形.

从而，.

易知，.

故.

因此，点在上.

类似地，点、也在上.

（2）由，，得.

因此，为的一条直径，即为点关于的对称点.

类似地，为点关于的对称点，为点关于的对称点.

故，，

.

（3）由为的中位线知，.

类似地，

，；

，.

则，

因此，相似比为.

从而，.