Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在区间上的值域.

（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导数，得从而确定，再根据单调性得值域（2）先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时， ，

，

令，有，

当时， ，

当时，

得，解得： ，

故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

所以当时， ，可得，

函数在区间上单调递减，

，

，

故函数在区间上的值域为.

（2）由，有，

故可化为，

整理为： ，

即函数在区间为增函数，

，

，故当时， ，

即，

①当时， ；

②当时，整理为： ，

令，有 ，

当， ， ，有，

当时，由，有 ，可得，

由上知时，函数单调递减，

故，

故有： ，可得.