Question

【题目】已知椭圆 +y2=1，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD相交于原点O，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）满足 = ．
（1）求证： + = ；
（2）kAB+kBC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：分别连接AB、BC、CD、AD，∵AC、BD相交于原点O，

根据椭圆的对称性可知，AC、BD互相平分，且原点O为它们的中点．

则四边形ABCD为平行四边形，故 ，即

（2）解：∵ = ，∴4y1y2=x1x2，

若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y1y2=x1x2；

直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，①

．

∵4y1y2=x1x2，又 ，

∴ ，

即 ．

整理得：k= ．

∵A、B、C、D的位置可以轮换，∴AB、BC的斜率一个是 ，另一个就是- ．

∴kAB+kBC= - =0，是定值．

不妨设 ，则 ．

设原点到直线AB的距离为d，则

= ≤1．

当m2=1时满足①取等号．

∴S四边形ABCD=4S△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4

【解析】（1）由题意可得四边形ABCD为平行四边形，故 ，即 + = ；（2）由 = ，得4y1y2=x1x2 ， 若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y1y2=x1x2；当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合4y1y2=x1x2求得k，把三角形AOB的面积化为关于m的函数，利用基本不等式求其最值，进一步得到四边形ABCD面积的最大值．