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    下面有五个命题
    ①函数f（x）=sin4x-cos4x图象的一个对称中心是(-
    π
    4
    ，0)    ；
    ②y=
    x+3
    x-1
    的图象关于点（-1，1）对称，
    ③关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为x1，x2，若0＜x1＜1＜x2＜2，则
    b
    a
    的取值范围是（-
    5
    4
    ，-
    1
    2
    ）
    ④设f（x）是连续的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则方程f(x)=f(
    x+3
    x+4
    )    所有根之和为8
    ⑤不等式sinx＞
    4x2
    π2
    对任意x∈(0，
    π
    2
    )    恒成立．
    其中真命题的序号是
     
    ．
    考点：命题的真假判断与应用
    专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质
    分析：运用二倍角的余弦公式，化简f（x），再由余弦函数的对称中心，即可判断①；
    由反比例函数的图象的对称性，以及图象平移的规律，即可判断②；
    由二次方程实根的分布，结合二次函数的图象，得到不等式组，画出可行域，再由直线的斜率公式，即可判断③；
    运用偶函数的性质和单调性，结合韦达定理，即可判断④；
    运用正弦函数和抛物线的图象，即可判断⑤．
    解答： 解：对于①，函数f（x）=sin4x-cos4x=（sin2x-cos2x）
    （sin2x+cos2x）=-cos2x，令2x=kπ+
    π
    2
    ，即x=
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，k为整数，即关于（
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，0）对称，则①对；
    对于②，y=
    x+3
    x-1
    =1+
    4
    x-1
    的图象可由y=
    4
    x
    的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故关于（1，1）对称，
    则②错；
    对于③，关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，
    a、b∈R）的两实根为x1，x2，
    且0＜x1＜1＜x2＜2，则
    f(0)＞0
    f(1)＜0
    f(2)＞0
    即有
    a+b+1＞0
    2a+b+3＜0
    3a+b+7＞0
    ，
    作出不等式组表示的可行域，
    b
    a
    =
    b-0
    a-0
    表示点（a，b）与原点的斜率，
    易得A（-4，5），B（-2，1），C（-3，2），kOA=-
    5
    4
    ，kOB=-
    1
    2
    ，由图象，
    可知
    b
    a
    的取值范围是（-
    5
    4
    ，-
    1
    2
    ），则③对；
    对于④，设f（x）是连续的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则方程f(x)=f(
    x+3
    x+4
    )
    即为f（|x|）=f（|
    x+3
    x+4
    |），则有x=
    x+3
    x+4
    或x+
    x+3
    x+4
    =0，即有x2+3x-3=0或x2+5x+3=0，
    即有韦达定理可得，x1+x2=-3，x3+x4=-5，所有根之和为-8，则④错；
    对于⑤，令y=sinx，y=
    4x2
    π2
    ，则x=0，y=0，x=
    π
    2
    ，y=1，由sinx在（0，
    π
    2
    ）的图象上凸，
    y=
    4x2
    π2
    为抛物线下凹，则不等式sinx＞
    4x2
    π2
    对任意x∈(0，
    π
    2
    )    恒成立．则⑤对．
    故答案为：①③⑤
    点评：本题考查函数的对称性、二次方程实根的分布和不等式表示的平面区域、函数的奇偶性和运用，以及不等式恒成立问题的解法，考查数形结合的思想方法，属于中档题和易错题．
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    13π
    4
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    13π
    5
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    π
    5
    ＜cos（-
    π
    5
    ）
    C、sin
    π
    7
    ＜sin
    7π
    8
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    7π
    5
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    2π
    5
    ）

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    1
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    1
    3
    )
    B、(-∞，-
    1
    3
    ]
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    1
    3
    ，+∞)
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    1
    3
    ，+∞)

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    ．

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    2
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    		3
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