Question

已知在直角坐标系xOy中，点P到两点（-1，0），（1，0）的距离之和等于2

2

，设点P的轨迹为C，
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点F（1，0）且与坐标轴不垂直的直线L交曲线C于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0）（M与O、F不重合），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知点P的轨迹C的椭圆，设该椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知条件是

2a=2 2 c=1

，由此能求出曲线C的方程．
（2）设l的方程为y=k（x-1），k≠0，由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此能求出在线段OF上存在点M（m，0）（M与O、F不重合），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．

解答： 解：（1）由题意知点P的轨迹C的椭圆，设该椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵点P到两点（-1，0），（1，0）的距离之和等于2

2

，
∴

2a=2 2 c=1

，解得a=

2

，c=1，∴b²=2-1=1，
∴曲线C的方程是

x2

2

+y2=1．
（2）假设存在点M（m，0），（0＜m＜1）满足条件，
使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∵直线与x轴不垂直，∴设l的方程为y=k（x-1），k≠0，
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
设线段PQ的中点为N（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

2k2

1+2k2

，y0=k(x0-1)=

-k

1+2k2

，
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴MN⊥PQ，∴k_MN•k_PQ=-1，
即

-k 1+2k2

2k2 1+2k2 -m

•k=-1，∴m=

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

，
∵k²＞0，∴0＜m＜

1

2

．
∴在线段OF上存在点M（m，0）（M与O、F不重合），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．