Question

设a是实数，函数f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义和性质即可证明函数f（x）不是奇函数；
（2）利用换元法姜函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

解答： 解：（1）若函数f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x）恒成立，
则f（0）=0，
∵f（0）=1+|1-a|≥1，
∴f（0）≠0，
即函数f（x）不是奇函数．
（2）令t=2^x，则t＞0，则原函数等价为y=t²+|t-a|，
①若a≤0，则y=t²+t-a，在t∈（0，+∞）上是增函数，即值域为（-a，+∞）
②若a＞0，则y=

t2+t-a 0＜t≤a t2+t-a t＞a

，
对于0＜t≤a，则y=（t-

1

2

）²+a-

1

4

，
当0＜a＜

1

2

，y关于t的减函数，y的取值范围是[a²，a），
当a≥

1

2

时，y_min=a-

1

4

，
当

1

2

≤a＜1时，y的取值范围是[a-

1

4

，a），
当a≥1时，y的取值范围是[a-

1

4

，a²]，
对于t＞a，有y=t²+t-a=y=（t+

1

2

）²-a-

1

4

是关于t的增函数，其取值范围是（a²，+∞），
综上：a≤0时，函数的值域为（-a，+∞），
0＜a＜

1

2

时，函数的值域是[a²，a），
a≥

1

2

时，函数的值域是[a-

1

4

，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和函数值域的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．