Question

设a为正实数，记函数f（x）=a

1-x2

-

1+x

-

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，试把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（3）问是否存在大于

2

的正实数a满足g（a）=g（

1

a

）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数最值的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由t=

1+x

+

1-x

平方得

1-x2

=

1

2

t²-1，从而将函数f（x）换元为m（t），而m（t）的定义域即t=

1+x

+

1-x

的值域，平方后求其值域即可；
（2）由（1）知，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）；
（3）假设存在大于

2

的正实数a满足g（a）=g（

1

a

），分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

，∴-1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．
t=

1+x

+

1-x

，由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，所以t的取值范围是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t²-1，∴m（t）=

1

2

at²-t-a，t∈[

2

，2]；
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at²-t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at²-t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①

1

a

≤

2

，即a≥

2

2

知m（t）=

1

2

at²-t-a在[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=m（2）=a-2．
②当

2

＜

1

a

＜2时，

1

2

＜a＜

2

2

，g（a）=m（

1

a

）=-

1

2a

-a．
③当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，g（a）=m（

2

）=-

2

∴g（a）=

a-2，a≥ 2 2 - 1 2a -a， 1 2 ＜a＜ 2 2 - 2 ，0＜a≤ 1 2

；
（3）由（2）可得g（

1

a

）=

1 a -2，0＜a≤ 2 - a 2 - 1 a ， 2 ＜a＜2 - 2 ，0＜a≤ 1 2

．
假设存在大于

2

的正实数a满足g（a）=g（

1

a

），则

2

＜a＜2时，a-2=-

a

2

-

1

a

，方程无解；
a≥2时，a-2=-

2

，a=2-

2

＜2，不符合．
综上所述，不存在大于

2

的正实数a满足g（a）=g（

1

a

）．

点评：本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化．